AI vindt tegenvoorbeelden voor wiskundige vermoedens

TL;DR

• Wat: AI-modellen van OpenAI en Anthropic hebben in 2026 meerdere decennia-oude wiskundige vermoedens weerlegd met tegenvoorbeelden.
• Waarom relevant: dit toont aan dat AI-systemen inmiddels op het niveau van creatief redeneren opereren — niet alleen tekst genereren, maar structureel problemen oplossen.
• Wat je ermee kunt: volg hoe reasoning-AI zich ontwikkelt; dezelfde redeneercapaciteit wordt steeds vaker inzetbaar voor complexe bedrijfsvragen.

Ik kwam een tweet tegen van @burny_tech die stelt dat de wiskundewereld op dit moment "booming" is door AI-gegenereerde resultaten, en dan vooral door tegenvoorbeelden voor open vermoedens. Dat trok mijn aandacht, want wat hier in de wiskunde gebeurt, zegt iets over waar AI als denk-instrument naartoe beweegt. Ik dook erin en deel hier de twee grootste hoogtepunten.

Wat is een tegenvoorbeeld — en waarom is het bijzonder?

Even kort voor wie niet dagelijks met wiskunde bezig is. Een vermoeden (conjecture) is een wiskundige stelling waarvan iedereen denkt dat die klopt, maar die nog niemand heeft kunnen bewijzen. Soms staat zo'n vermoeden tientallen jaren open. Een tegenvoorbeeld is het omgekeerde: één concreet geval dat laat zien dat het vermoeden níét altijd opgaat. Denk aan de uitspraak "alle zwanen zijn wit" — één zwarte zwaan is genoeg om die te weerleggen.

Wat mij hier opvalt: AI blijkt bijzonder geschikt voor precies dit soort werk. Er zit een natuurlijke asymmetrie tussen bewijzen en weerleggen. Om iets te bewijzen moet je laten zien dat het áltijd klopt. Om iets te weerleggen heb je maar één tegenvoorbeeld nodig. AI-modellen kunnen enorme hoeveelheden mogelijkheden systematisch doorzoeken — en dat is precies wat je nodig hebt om die ene uitzondering te vinden.

Volgens een overzicht op de Xena Project-blog zijn er in twaalf maanden meer dan vijftien tegenvoorbeelden gevonden met behulp van AI, verspreid over combinatoriek, getaltheorie, analyse en andere deelgebieden.

Hoogtepunt 1: het Jacobi-vermoeden valt na 87 jaar

Het eerste grote resultaat gaat over het zogeheten Jacobi-vermoeden (Jacobian conjecture). Dit is een open probleem uit de algebraïsche meetkunde dat sinds 1939 onopgelost was. Op 19 juli 2026 presenteerde wiskundige Levent Alpöge — werkzaam bij Anthropic — een expliciet tegenvoorbeeld in drie variabelen. Hij schreef het resultaat toe aan Claude Fable 5, het AI-model van Anthropic.

Wat het extra opvallend maakt: het tegenvoorbeeld is compact genoeg om in een social-mediapost te passen. Een polynomiale afbeelding van ℂ³ naar zichzelf met een Jacobi-determinant van −2 op elk punt, waarbij drie verschillende punten op dezelfde uitkomst worden afgebeeld. Wiskundigen hebben de berekening binnen uren geverifieerd — de rekenkunde klopt.

Ik vind het eerlijk gezegd fascinerend dat een probleem waar generaties wiskundigen hun tanden op hebben stukgebeten, wordt gekraakt met een formule die op een scherm past. Het tweedimensionale geval van het vermoeden staat overigens nog steeds open, dus het verhaal is niet helemaal af.

Eén kanttekening die ik belangrijk vind: hóé het tegenvoorbeeld precies is gevonden, is niet openbaar gemaakt. Dat maakt het lastig om het proces te beoordelen — we zien het resultaat, maar niet de methode erachter.

Hoogtepunt 2: Erdős' unit-distance-vermoeden weerlegd

Het tweede hoogtepunt komt van OpenAI. Op 20 mei 2026 produceerde een intern AI-model een tegenvoorbeeld voor het unit-distance-vermoeden van Paul Erdős, een probleem uit 1946 over de maximale configuratie van punten op gelijke afstand in het vlak.

Volgens Quanta Magazine was dit het eerste historisch significante bewijs dat direct uit een AI-model kwam. Wat het bijzonder maakt is de aanpak: het model herkende een structureel verband tussen twee wiskundige deelgebieden — discrete meetkunde en algebraïsche getaltheorie — die onderzoekers niet eerder hadden gecombineerd.

Dat is geen brute kracht, maar iets dat lijkt op creatief verband leggen. Kun je je voorstellen wat dat betekent als datzelfde vermogen wordt losgelaten op andere complexe problemen — in logistiek, materiaalwetenschap, of financiële modellering?

De formalisering in de wiskundige bewijstaal Lean werd binnen een week afgerond door het bedrijf Logical Intelligence, en later produceerde OpenAI's model Sol een volledige formele versie van 1,2 miljoen regels Lean-code.

Wat zegt dit over AI als redeneermachine?

Ik denk dat het belangrijk is om even uit te zoomen. Dit gaat niet alleen over wiskunde. Wat deze resultaten laten zien is dat AI-modellen steeds beter worden in gestructureerd redeneren — het vinden van patronen, het leggen van onverwachte verbanden, het systematisch doorzoeken van mogelijkheden.

En dat is precies de richting die voor ondernemers relevant wordt. Reasoning-AI — modellen die niet alleen tekst produceren maar stapsgewijs redeneren — wordt in 2026 steeds breder inzetbaar. Volgens cijfers van het AI Platform MKB gebruikt 28% van Nederlandse bedrijven met minder dan vijftig medewerkers AI structureel. Bij middelgrote bedrijven is dat 42%.

De meeste toepassingen zijn nu nog praktisch: teksten schrijven, e-mails samenvatten, data ordenen. Maar de wiskundige doorbraken van 2026 zijn wat mij betreft een voorproefje van wat eraan komt: AI die complexe, gelaagde problemen kan ontleden. Stel dat je als ondernemer een prijsmodel hebt met tientallen variabelen, of een logistiek vraagstuk met tegenstrijdige beperkingen — dat type probleem begint steeds meer binnen bereik van AI-redeneertools te komen.

De keerzijde: verificatie blijft mensenwerk

Er is ook een kritische noot. Max Weinreich publiceerde een paper met de titel "The Crisis of AI-Generated Mathematics" waarin hij wijst op risico's: AI kan overtuigend klinkende maar onjuiste resultaten produceren. De top-drie wiskundetijdschriften eisen inmiddels formele verificatie voor elk bewijs dat op zware berekeningen leunt.

Dat is een gezond signaal, wat mij betreft. Het laat zien dat de wiskundige gemeenschap AI serieus neemt, maar tegelijk de lat voor betrouwbaarheid hoog houdt. Voor ondernemers geldt hetzelfde principe: AI kan steeds meer, maar de uitkomst controleren blijft essentieel. Vertrouwen is goed, verifiëren is beter.

Wat ik hieruit meeneem

Voor mij is dit vooral een signaal dat AI niet meer alleen goed is in taalwerk. De modellen van 2026 redeneren, zoeken systematisch, en leggen verbanden die menselijke experts niet zagen. Dat is geen hype — dat zijn geverifieerde wiskundige resultaten die tientallen jaren aan onderzoek afsluiten.

Tegelijk vind ik de eerlijkheid over beperkingen net zo waardevol. Het Jacobi-vermoeden in twee dimensies staat nog open. De methode achter sommige ontdekkingen is niet transparant. En formele verificatie is noodzakelijker dan ooit. Die combinatie — indrukwekkende capaciteit én noodzaak tot kritisch kijken — is precies waar we als gebruikers van AI mee moeten leren omgaan.